Soal tentang Keterbagian

1)       Berapa banyak cara tiga buah bilangan dapat dipilih dari himpunan {1, 2, ... , 20} sehingga hasil kalinya habis dibagi 4.

(a) 120    (b) 455           (c) 780            (d) 795           (e) 870

2)       Berapa jumlah semua pembagi bulat positif dari 2012?

3)       Diberikan S = 1²⁰¹¹ + 2²⁰¹¹ + 3²⁰¹¹ + · · · + 2010²⁰¹¹. Tentukan sisa pembagian jika S dibagi 2011.

(A) 2010 (B) 0    (C) 2009         (D) 1   (E) 1005

4)       Berapa banyak bilangan bulat 1 ≤ n ≤ 2012 yang habis 9 atau 21, tetapi tidak habis dibagi keduanya?

(a) 223

(b) 254

(c) 256

(d) 287

(e) 318

5)       Berapa banyak bilangan bulat positif yang tepat membagi (4!)⁴?

(a) 32

(b) 48

(c) 59

(d) 64

(e) 65

6)       Diketahui bahwa a dan b adalah bilangan bulat yang jumlahnya habis dibagi 3. Manakah diantara pernyataan berikut yang benar?

I. a² + b² habis dibagi 3

II. a² - b² habis dibagi 3

III. a³ + b³ habis dibagi 3

(a) Hanya I

(b) Hanya II

(c) I dan III

(d) II dan III

(e) I, II, dan III

7)       Tentukan bilangan bulat positif n terkecil sehingga 120 habis dibagi n, bilangan kuadrat n² dan bilangan pangkat 3 n³.

8)       Ketika dikalikan, 15! = 130767A368000. Berapakah A.

(a) 2

(b) 4

(c) 6

(d) 8

(e) 0

9)       Tentukan bilangan bulat terbesar yang ketika membagi 513, 786, and 1433 menghasilkan sisa berturut-turut adalah  R₁ , R₂ , dan R₃ , sedemikian hingga R₂ = R₁ +1 dan R₃ = R₂ +1.

10)  Jumlah dua buah bilangan, x dan y , dengan x > y adalah 216. Ketika salah satunya dibagi 5 dan yang lainnya dibagi 4, maka hasilnya adalah bilangan bulat dan jumlah hasil baginya adalah 50. Tentukan pasangan (x, y) 

11)  Barisan Fibonacci didefinisikan dengan F₁ = 1, F₂ = 1, F_n = F_n-1 + F_n-2 untuk n > 2. Tentukan bilangan bulat positif terkecil k sehingga F_k habis dibagi 31.

A) 8          B) 15               C) 30               D) 60             E) tidak ada yang benar

12)  Tom menemukan nilai dari 3²¹ = 10,4A0,353,20B.  Semua digit adalah benar kecuali yang keempat dan yang terakhir, yang diwakili oleh A dan B. Berapakah nilai dari A?

(A)  0                   (B)  2               (C)   3             (D)  6              (E)  8

13)  Berapakah bilangan bulat n yang terbesar sehingga 20! Habis dibagi 80ⁿ? (Note 20! = 1 · 2 · 3 · · · 20.)

14)  Diketahui S adalah himpunan semua bilangan palindrome 5-angka yang habis dibagi 11. Tentukan jumlah semua angka dari tiga buah bilangan terkecil dalam S.

(A) 18      (B) 19                         (C) 20                         (D) 23             (E) 24

15)  Diketahui bahwa 324 = 2² × 3⁴. Berapa banyak pembagi positif dari 324?

A. 8          B. 10               C. 12               D. 15               E. tidak ada yang benar.

16)  Berapa jumlah dari sisa-sisa ketika 100, 101, 102, ... , 998, 999, dan 1000 masing-masing dibagi 9?

A. 3600    B. 3601           C. 4500           D. 4501          E. tidak ada yang benar.

17)  Berapa jumlah semua pembagi positif dari 4³?

18)  Ada sebuah bilangan bulat ganjil antara 600 dan 800 yang habis dibagi 9 dan 11. Berapa jumlah digit-digit dari bilangan itu?

19)  Ketika sebuah bilangan bulat positif dibagi 18, akan bersisa 8. Ketika pembagian tersebut dinyatakan dalam bentuk desimal, maka berapakah angka yang ke 10.000?

20)  Berapa banyak bilangan bulat positif, termasuk 1 dan 2012, yang tepat membagi 2012?

(A) 6        (B) 18                         (C) 24                         (D) 36             (E) NA

21)  Sisa dari pembagian 3²⁰¹¹ + 1 oleh 2011 adalah ...

(A) 0        (B) 4                (C) 192           (D) 2001        (E) 2009

22)  Tentukan banyak pembagi positif dari 3456.

(A) 18      (B) 27                         (C) 32                         (D) 40             (E) NA

23)  Berapa banyak bilangan bulat positif yang membagi paling sedikit salah satu dari bilangan berikut :

3¹⁰ · 35²⁰, 6¹⁵ · 5¹⁰

24)  Tentukan bilangan positif terkecil yang tepat memiliki 56 pembagi

25)  Berapa banyak faktor dari 630,000 yang habis dibagi 20?

26)  Berapa banyak dari bilangan-bilangan 3,5,7,13,15,17,21,42 yang merupakan pembagi dari 210?

(A) 3        (B) 4                (C) 5               (D) 6               (E) 7

27.   Jumlah semua bilangan bulat positif yang kurang dari 2010 dan tidak habis dibagi 3 adalah :

(A) 1345695 (B) 1346700 (C) 1347705 (D) 1437150 (E) 1450000

28.   Tentukan sebuah bilangan bulat positif yang tidak melebihi 1000 yang bersisa 3 ketika dibagi 7, bersisa 4 ketika dibagi 11 dan bersisa 2 ketika dibagi 13.

29.   Berapa banyak bilangan kubik (pangkat 3) yang lebih besar dari 1 yang membagi 9⁹?

(a) 4

(b) 6

(c) 7

(d) 8

(e) 10

30.   Berapakah sisa ketika 24²⁰⁰ dibagi 25?

a. 1           b. 24                c. 4                  d. 2                  e. 23

31.   2008! Habis dibagi 10^x . Berapakah nilai terbesar dari x?

31.   Untuk berapa banyak bilangan bulat positif, n , yang kurang dari atau sama dengan 24, sehingga n! Tepat habis dibagi 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n?

(a) 21       (b) 12              (c) 16              (d) 8                (e) 17

33. Berapakah sisa ketika 100101102103104105106107108 dibagi 999?

(a) 0         (b) 27              (c) 522            (d) 936           (e) 990

34.   Ada sebuah bilangan bulat ganjil antara 600 dan 800 yang habis dibagi 7 dan 9. Berapa jumlah digit-digit dari bilangan itu?

(a) 7         (b) 12              (c) 18              (d) 21              (e) 27