Soal Kompetisi Matematika : PUMAC 2010 - Bilangan

1. Tentukan bilangan bulat positif terkecil n sehingga n⁴ + (n + 1)⁴ merupakan bilangan komposit.

2. Tentukan bilangan bulat positif terbesar n, sehingga φ(n) = 28, dimana φ(n)  merupakan jumlah pembagi dari, termasuk n.

3. Tentukan jumlah 5 buah bilangan bulat positif pertama n sehingga n² – 1 adalah merupakan hasil kali 3 buah bilangan prima yang berbeda.

4. Tentukan bilangan bulat positif terbesar n sehingga nφ(n) merupakan bilangan persegi. (φ(n) adalah banyak bilangan bulat k, 1 ≤ k ≤ n adalah relatif prima dengan n)

5. Diketahui x dan y adalah bilangan bulat positif dengan x(x + 1)│(y + 1), tetapi tidak ada x atau x + 1 yang merupakan pembagi dari salah satu y atau y + 1, dan x² + y² adalah nilai paling kecil yang mungkin, tentukan x² + y².

6. Tentukan pembilang dari :

Ketika disederhanakan.

7. Diberikan n yang merupakan banyak fungsi polinomial yang memetakan bilangan-bilangan bulat modulo 2010 ke bilangan-bilangan bulat positif modulo 2010. n dapat dinyatakan dengan n = p₁p₂ ... p_k, dimana p_i (tidak harus berbeda) adalah prima. Tentukan p₁ + p₂ + . . . + p_n.

8. Bilangan triple phytagoras berurutan adalah triple phytagoras yang berbentuk a² + (a+1)² = b², a dan b bilangan bulat positif. Jika a, a + 1, dan b membentuk triple phytagoras berurutan, maka tentukan nilai a.