Penyelesaian OSN Matematika SMP 2011 : Uraian No.1

   

    Soal

   Saat ini umur agus dan umur fauzan kurang dari 100 tahun. jika umur agus dan umur fauzan ditulis secara berurutan, maka diperoleh suatu bilangan empat digit (angka) yang merupakan kuadrat sempurna. dua puluh tiga tahun kemudian, jika umur mereka ditulis dengan cara yang sama, mka diperoleh bilangan empat digit lain yang juga merupakan kuadrat sempurna. jika umur mereka diasumsikan merupakan bilangan bulat positif, berapakah umur mrk saat ini?

Jawab

Misalkan umur Agus = ab dan umur Fauzan = cd

abcd = p² atau 1000a + 100b + 10c + d = p²

Setelah 23 tahun

1000a +2000 +100b + 300 + 10c + 20 + d + 3 = q²

1000a + 100b + 10c + d + 2323 = q²

p² + 2323 = q²

q² – p² = 2323

(q – p)(q + p) = 23 x 101 (23 dan 101 prima)

q + p = 101

q – p = 23,

Sehingga 2p = 78, p = 39

p² = 1521

Sehingga umur mereka saat ini adalah 15 dan 21