SOAL LATIHAN OLIMPIADE MATEMATIKA : KOMBINATORIKA 2

9. Buktikan bahwa di antara 5 bilangan bulat pasti ada 3 di antaranya memiliki jumlah habis dibagi 3.

10. Misalkan bilangan-bilangan 1 sampai 20 ditempatkan dalam urutan bagaimana pun pada sebuah lingkaran. Tunjukkan bahwa :

a. ada tiga bilangan berdekatan yang jumlahnya sedikitnya 32

b. ada empat bilangan berdekatan yang jumlahnya sedikitnya 42

11. Titik letis pada bidang adalah titik yang mempunyai koordinat berupa pasangan bilangan bulat. Misalkan P₁, P₂, P₃, P₄, P₅ adalah lima titik letis berbeda pada bidang.

Buktikan bahwa terdapat sepasang titik (P_i, P_j), i ≠ j, demikian, sehingga ruas garis P_iP_j memuat sebuah titik letis selain P_i dan P_j.

12. Titik letis pada ruang adalah titik yang mempunyai koordinat berupa tripel bilangan bulat (Contoh : (3,4,5); (3,−4,6)).

Misalkan P₁, P₂, P₃, P₄, P₅, P₆, P₇, P₈ adalah delapan titik letis berbeda pada ruang.

Buktikan bahwa terdapat sepasang titik (P_i, P_j), i ≠ j, demikian, sehingga ruas garis P_iP_j memuat sebuah titik letis selain P_i dan P_j.

13. Buktikan bahwa jika dalam sebuah grup 6 orang, setiap 2 orang hanya dapat selalu bersahabat atau selalu bermusuhan, maka ada sedikitnya 3 orang yang saling bersahabat atau saling bermusuhan satu sama lain.

14. Di dalam suatu pesta terdapat n orang dan mereka saling bersalaman. Jika di antara 2 orang tidak ada yang bersalaman lebih dari 1 kali, buktikan bahwa ada sedikitnya 2 orang bersalamaan dalam jumlah yang sama.

Sumber : Buku Pembinaan Olimpiade Matematika (EDY HERMANTO, ST)