Kalau yang ini saya masih butuh sharing dari para pakarnya matematika. Karena penyelesaian berikut hanya berdasarkan asumsi saja, semoga ada di antara pembaca yang berkenan memberikan masukan.
SOAL
Perhatikan barisan bilangan asli berikut :
5, 55, 555, 5555, 55555, ....., 5555...55
Barisan di atas mempunyai aturan : suku ke-n teridiri dari n-angka (digit) 5. Tunjukan bahwa ada diantara suku-suku barisan tersebut yang habis dibagi 2011
JAWAB
Kita dapat menyederhanakan barisan tersebut dengan membagi 5, dan hasilnya adalah
1, 11, 111, 1111,11111, ... , 111...11
Dari barisan tersebut, kita pilih yang habis dibagi 3. Hasilnya adalah
111, 111111, 111111111, ....
Kemudian kita bagi 3, dan hasilnya adalah
37, 37037, 37037037, 37037037037, ...
Dari barisan tersebut kita ambil yang habis dibagi 7. Hasilnya adalah
37037, 37037037037, 37037037037037037, ...
Kemudian kita bagi 7. Hasilnya adalah...
5291, 5291005291, 5291005291005291, ...
Kemudian kita pilih yang habis dibagi 13, dan dibagi 13, hasilnya adalah
481000481, 481000481000481000481000481,...
Kemudian kita pilih yang habis dibagi 13, dan dibagi 13, hasilnya adalah
37000037000037000037000037, ....
Dan seterusnya dengan membagi dengan bilangan prima selanjutnya.
Saya belum mampu untuk melanjutkanya, tetapi sepertinya akan terus berlanjut untuk bilangan-bilangan prima seterusnya. Hingga akhirnya akan sampai pada angka 2011. (karena 2011 merupakan salah satu bilangan prima)
Sehingga saya berasumsi bahwa ada diantara bilangan tersebut yang habis dibagi 2011, yaitu :
5 x 3 x 7 x 11 x ... x 2011
(dengan mengalikan semua bilangan prima mulai 3 hingga 2011)
Coba kurangkan dua suku di antaranya, misalkan a dan b dengan a > b. Maka akan didapat sebuah bilangan dengan beberapa angka pertama sama dengan 5 dan beberapa angka berikutnya sama dengan 0. Misalkan bilangan tersebut sama dengan x. Maka x sama dengan 10 pangkat sekian dikalikan dengan suatu bilangan yang merupakan salah satu suku barisan tersebut. Misalkan x dituliskan dengan x = 10^y . c dengan c adalah salah satu suku barisan. Andaikan bahwa 2011 membagi x. Karena 2011 dan 10 relatif prima maka haruslah 2011 membagi c. Muncul pertanyaan, itu tadi kan masih pengandaian bahwa 2011 membagi x ? Kita buktikan. Kapan 2011 membagi x ? Jawabannya adalah jika a dan b adalah dua bilangan yang memiliki sisa yang sama jika dibagi 2011. Mungkinkah hal tersebut terjadi ? Jawabannya adalah pasti. Sisa jika suatu bilangan bulat dibagi 2011 ada 2011 kemungkinan yaitu 0, 1, 2, ..., 2010. Karena banyaknya suku > 2011 maka pasti ada 2 suku di antaranya yang memiliki sisa yang sama jika dibagi 2011.
ReplyDeleteLengkapnya bisa didownload di http://baktiolimpiade.wordpress.com/
Ayo terus berkarya.....