Pembahasan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional Tahun 2011 : Soal 8

SOAL

Bilangan 1 sampai 10 disusun pada segilima sehingga jumlah tiga bilangan pada setiap sisi adalah sama. Sebagai contoh, pada gambar di samping jumlah tiga bilangan tersebut adalah 16. Untuk semua susunan yang mungkin, tentukan nilai terbesar dan nilai terkecil dari jumlah tiga bilangan tersebut.

JAWAB :

Misalkan kesepuluh bilangan tersebut kita simbolkan dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, dan j. Kemudian kita tempatkan sebagaimana pada gambar di samping.

Maka kita akan dapatkan persamaan jumlah keseluruhan adalah dari jumlah tiga bilangan pada masing-masing sisi dalam bentuk persamaan berikut

2(a + b + c + d + e) + (f + g + h + i + j)

Maka nilai terendah akan diperoleh pada keadaan berikut

2(1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (6 + 7 + 8 + 9 + 10)

Dengan cara penempatan sebagai berikut

Dan jumlah tiga bilangan pada setiap sisi adalah 14

Sedangkan nilai tertinggi akan diperoleh pada keadaan berikut

2(6 + 7 + 8 + 9 + 10) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5)

Dengan cara penempatan sebagai berikut

Dan jumlah tiga bilangan pada satu sisi adalah 19

Sehingga nilai terendah 14 dan nilai tertinggi 19