SOAL
Didefinisikan
:
S(n) = ∑ (-1)k+1 k
= (-1)1+1 1 + (-1)2+1 2 + (-1)3+1 3 + ... +
(-1)n+1 n
(k mulai 0 sampai n)
Selidiki apakah
ada bilangan bulat positif m dan n yang memenuhi s(m) + S(n) + S(m+n) = 2011
JAWAB
Secara deret,
bentuk tersebut dapat ditulis dalam bentuk berikut :
S(n) = 1 – 2
+ 3 – 4 + 5 – 6 + ... ± n
Dapat pula
kita membuat pengelompokan sebagai berikut
S(n) = 1 + (–
2 + 3) + ( – 4 + 5) + ( – 6 + 7) + ... ± n
Yang dapat
disederhanakan menjadi
S(n) = 1 + 1
+ 1 + 1 + 1 + ....+ 1 untuk n ganjil
Atau
S(n) = 1 + 1
+ 1 + 1 + 1 + .... + 1 – n = n – 1 + n = -1 Untuk n genap
Sehingga kita
dapat menulis
-1 + 1 +
2011 = 2011
Dan dengan
mudah kita dapatkan
S(2010) +
S(1) + s(2010 + 1) = 2011
Menurut saya jika n genap maka S(n) = -n/2 sedangkan jika n ganjil maka S(n) = (-(n-1)/2) + n sehingga nantinya tidak ada pasangan (m, n) yang memenuhi.
ReplyDeleteSelengkapnya bisa didownload di http://baktiolimpiade.wordpress.com/
Mohon maaf Pak Edy
ReplyDeleteMisalkan S(2) = 1 - 2 = -1 (yang genap)
Saya mohon penjelajasan untuk S(n) = - n/2 itu Pak!
Jika n genap maka S(n)=1-2+3-4+5-6+7-8+...+(n-1)-n
ReplyDeleteJika n genap maka tanda sebelum n adalah negatif.
Karena n genap maka semua sukunya bisa dibagi menjadi (n/2)'pasangan'.
S(n)=(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+...+((n-1)-n)
Semua'pasangan' bernilai-1 sehingga
S(n)=-(n/2) untuk n genap.
Jika n = 2 maka S(2) = 1-2 = -1 = -(2/2)
Jika n = 4 maka S(4) = 1-2+3-4 = -2 = -(4/2)
Ayo terus berkarya....