Pembahasan Soal OSN Matematika Tingkat Nasional Tahun 2011 : Soal 1

Kemarin saya melihat salah seorang teman saya, yaitu Pak Syaiful Arif memposting soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional Tahun 2011. Tanpa basa-basi, soal tersebut langsung saya download.

Sebagai kelanjutannya, maka saya mencoba mengorek soal tersebut satu per satu. Dan pada kesempatan ini saya mencoba memaparkan pembahasan soal nomor 1. Semoga saya diberikan kekuatan untuk terus melanjutkanya pada postingan selanjutnya untuk soal-soal selanjutnya.

SOAL

Dari pengukuran terhadap tinggi sembilan pohon diperoleh data sebagai berikut.

• Ada tiga hasil pengukuran yang berbeda (dalam satuan meter)
• Semua data berupa bilangan positip
• Mean = median = modus = 3
• Jumlah kuadrat semua data adalah 87

Tentukan semua kemungkinan ukuran tinggi Sembilan pohon tersebut.

JAWAB

• Ada tiga hasil pengukuran yang berbeda
• Misalkan ketiga ukuran tersebut dari yang terkecil ke yang terbesar adalah a, b, dan c
• Semua data berupa bilangan positif, artinya a, b, c ˃ 0
• Mean = 3, artinnya jumlah kesembilan bilangan adalah 27
• Median = 3, artinya b = 3
• Modus = 3, artinya b adalah ukuran yang paling sering muncul

Susunan nilai yang mungkin (dengan urutan dari yang terkecil ke yang terbesar)

①. a, b, b, b, b, b, b, b, c

⇨ (a + c) : 2 = 3, artinya a + c = 6 (c ˃ a)

⇨ a² + c² = 24, (karena a² + 7b² + c² = 87 dan 7b² = 63)

a = 3 - √3 dan c = 3 + √3

②. a, a, b, b, b, b, b, b, c

⇨ (2a + c) : 3 = 3, artinya 2a + c = 9 (c ˃ a)

⇨ 2a² + c² = 33, (karena 2a² + 6b² + c² = 87 dan 6b² = 54)

a = 2 dan c = 5

③. a, a, a, b, b, b, b, b, c

⇨ (3a + c) : 4 = 3, artinya 3a + c = 12 (c ˃ a)

⇨ 3a² + c² = 42, (karena 3a² + 5b² + c² = 87 dan 5b² = 45)

a = 3 - ½√2 dan c = 3 + 1½√2

④. a, b, b, b, b, b, b, c, c

⇨ (a + 2c) : 3 = 3, artinya a + 2c = 9 (c ˃ a)

⇨ a² + 2c² = 33, (karena a² + 6b² + 2c² = 87 dan 6b² = 54)

a = 1 dan c = 4

⑤. a, b, b, b, b, b, c, c, c

⇨ (a + 3c) : 4 = 3, artinya a + 3c = 12 (c ˃ a)

⇨ a² + 3c² = 42, (karena a² + 5b² + 3c² = 87 dan 5b² = 45)

a = 3 - 1½√2 dan c = 3 + ½√2

⑥. a, a, b, b, b, b, b, c, c

⇨ (2a + 2c) : 4 = 3, artinya a + c = 6 (c ˃ a)

⇨ 2a² + 2c² = 42, atau a² + c² = 21 (karena a² + 5b² + c² = 87 dan 5b² = 45)

a = 3 - ½√3 dan c = 3 + ½√3

maka susunan ukuran tinggi pohon yang memenuhi adalah :

• (3 - √3), 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, (3 + √3)
• 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 5
• (3 - ½√2), (3 - ½√2), (3 - ½√2), 3, 3, 3, 3, (3 + 1½√2)
• 1, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4
• (3 - 1½√2), 3, 3, 3, 3, (3 + ½√2), (3 + ½√2), (3 + ½√2)
• (3 - ½√3), (3 - ½√3), 3, 3, 3, 3, 3, (3 + ½√3), (3 + ½√3)

Mohon maaf atas segala kekurangan dan mohon koreksi atas kesalahannya.