Pembahasan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional Tahun 2011 : Soal 3

Sebagai kelanjutan postingan saya sebelumnya, maka kali ini saya mencoba membahas soal nomor 3. Mohon koreksi atas kesalahannya.
SOAL

Bangun datar ABCD di samping adalah trapesium dengan AB sejajar CD. Titik E dan F terletak pada CD sehingga AD sejajar BE dan AF sejajar BC. Titik H adalah perpotongan AF dengan BE dan titik G adalah perpotongan AC dengan BE. Jika panjang AB adalah 4 cm dan panjang CD adalah 10 cm hitunglah perbandingan luas segitiga AGH dan luas trapesium ABCD.

JAWAB

Dari soal di atas diketahui bahwa DE = 4 cm, EF = 2 cm, dan FC = 4 cm

Misalkan tinggi trapesium ABCD = t

Maka luas ABCD = ½ x t x (10 + 4) = 7t

Berdasarkan hukum-hukum dalam garis dan sudut, maka

①. △ABH dan △EFH sebagun

            ⇨Akibatnya tABH : tEFH = 4 : 2, sehingga tEFH = ½ tABH

            ⇨ Sementara itu, tABH + tEFH = t, sehingga tABH = ⅔t

            ⇨ Maka luas ABH = ½ x 4 x ⅔t = ⁴/₃ t

②. △ABG dan △ECG sebagun

            ⇨Akibatnya tABG : tECG = 4 : 6, sehingga tECG = ³/₂ tABG

            ⇨ Sementara itu, tABG + tECG = t, sehingga tABG = ²/₅t

            ⇨ Maka luas ABH = ½ x 4 x ²/₅t = ⁴/₅ t

Luas AGH = Luas ABH – Luas ABG

                        = ⁴/₃ t - ⁴/₅ t = ⁸/₁₅ t

Sehingga perbandingan luas AGH terhadap ABCD adalah

⁸/₁₅ t : 7t  atau 8 : 105