Pembahasan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional Tahun 2011 : Soal 2

SOAL

Didefinisikan nilai mutlak |x| sebagai berikut

|x| = x, jika x ≥ 0 dan |x| = -x, jika x < 0

Jika x dan y adalah bilangan bulat, tentukan pasangan (x,y) yang memenuhi |x| + |y| ≤ 50.

JAWAB

Nilai x atau y yang paling tinggi adalah 50 dan paling rendah -50

Jika x = 50, maka nilai y = 0 (1 pasang)

Jika x = 49, maka nilai y = -1, 0, 1 (3 pasang)

Jika x = 48, maka nilai y = -2, -1, 0, 1, 2 (5 pasang)

Jika x = 47, maka nilai y = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (7 pasang)

Demikian seterusnya hingga x = 0. Hingga banyak pasangan (x,y) yang terbentuk membentuk deret : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 101 = 2601

Kemudian sebaliknya :

Jika x = -50, maka nilai y = 0 (1 pasang)

Jika x = -49, maka nilai y = -1, 0, 1 (3 pasang)

Jika x = -48, maka nilai y = -2, -1, 0, 1, 2 (5 pasang)

Jika x = -47, maka nilai y = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (7 pasang)

Demikian seterusnya hingga x = -1. Hingga banyak pasangan (x,y) yang terbentuk membentuk deret : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99 = 2500

Sehingga jumlah semua kemungkinannya adalah 2601 + 2500 = 5101